单调函数一定有界吗？连续函数一定有界吗？

2025-12-05 00:48:15

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回答1：

(1) 单调函数不一定有界.
例如指数函数 f(x)=e^x 在其定义域区间(-∞,+∞)内是单调递增的,
但是显然它无上界,从而无界!
(2) 连续函数也不一定有界.
例如同样考虑指数函数 f(x)=e^x,(-∞,+∞), 它是一个基本初等函数,
所以一定连续, 但是显然它无界!

回答2：

单调函数不一定有界（单调有界函数一定有极限，有极限的函数一定有界）如连续递增的一次函数，若不给一个定义域就没有界。同理连续函数也不一定有界，如一次函数。

回答3：

闭区间上的单调函数一定有界，闭区间上的连续函数一定有界，
其余的就不一定了。